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估计对称稳定定律的特征函数和稳定性参数的对数
Estimating the logarithm of characteristic function and stability parameter for symmetric stable laws
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论文摘要
令$ x_1，\ ldots，x_n $为i.i.d.来自对称稳定分布的样本稳定性参数$α$和比例参数$γ$。令$φ_n$为经验特征函数。我们证明了统一的大偏差不平等：给定精确性$ε> 0 $和概率$ p \ in（0,1）$，存在通用（取决于$ε$和$ p $，但不能取决于$α$和$α$和$γ$）常量$ \ bar {r} \ bar {r}} | r（u） - \ hat {r}（u）| \geqε\ big）\ leq p，$$，其中$ r（u）=（uγ）^α$和$ \ hat {r} {r}（r}（u）作为结果的应用，我们展示了如何将其用于估计未知稳定性参数$α$中。
Let $X_1,\ldots,X_n$ be an i.i.d. sample from symmetric stable distribution with stability parameter $α$ and scale parameter $γ$. Let $φ_n$ be the empirical characteristic function. We prove an uniform large deviation inequality: given preciseness $ε>0$ and probability $p\in (0,1)$, there exists universal (depending on $ε$ and $p$ but not depending on $α$ and $γ$) constant $\bar{r}>0$ so that $$P\big(\sup_{u>0:r(u)\leq \bar{r}}|r(u)-\hat{r}(u)|\geq ε\big)\leq p,$$ where $r(u)=(uγ)^α$ and $\hat{r}(u)=-\ln|φ_n(u)|$. As an applications of the result, we show how it can be used in estimation unknown stability parameter $α$.
