论文标题
liouville数字的罪恶，cos，exp and log
SIN, COS, EXP and LOG of Liouville numbers
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论文摘要
储层计算是预测湍流的有力工具，其简单的架构具有处理大型系统的计算效率。然而，其实现通常需要完整的状态向量测量和系统非线性知识。我们使用非线性投影函数将系统测量扩展到高维空间，然后将其输入到储层中以获得预测。我们展示了这种储层计算网络在时空混沌系统上的应用，该系统模拟了湍流的若干特征。我们表明，使用径向基函数作为非线性投影器，即使只有部分观测并且不知道控制方程，也能稳健地捕捉复杂的系统非线性。最后，我们表明，当测量稀疏、不完整且带有噪声，甚至控制方程变得不准确时，我们的网络仍然可以产生相当准确的预测，从而为实际湍流系统的无模型预测铺平了道路。
For any Liouville number $α$, all of the following are transcendental numbers: $\textrm{e}^α$, $\log_\textrm{e}α$, $\sin α$, $\cosα$, $\tanα$, $\sinhα$, $\coshα$, $\tanhα$, $\arcsinα$ and the inverse functions evaluated at $α$ of the listed trigonometric and hyperbolic functions, noting that wherever multiple values are involved, every such value is transcendental. This remains true if "Liouville number" is replaced by "$U$-number", where $U$ is one of Mahler's classes of transcendental numbers.
