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通过刚度实现多亚西亚希德拉
Realizations of multiassociahedra via rigidity
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论文摘要
令$Δ_K（n）$表示$（k+1）$的简单复合物 - $ \ binom {[n]} {2} $中的边缘边缘的边缘子集。这里$ k，n \ in \ mathbb n $和$ n \ ge 2k+1 $。 琼森（Jonsson，2003）证明了（忽略不能属于任何$（k+1）$ - 交叉的一部分的短边），$δ_k（n）$是尺寸$ k（n-2k-1）-1 $的可壳范围，并猜测它是多面的。 Knutson和Miller（2004）在子词复合体上的工作中出现了相同的结果和问题。 尽管付出了巨大的努力，但众所周知，该猜想的唯一值为$（k，n）$是$ n \ le 2k+3 $（Pilaud and Santos，2012）和$（2,8）$（Bokowski and Pilaud，2009年）。 使用刚度理论中的想法并在瞬间曲线中选择点，我们将$δ_k（n）$作为$（k，n）\ in \ in \ {（2,9），（2,10），（2,10），（3,10）$的多层人士。我们还将其视为所有$ n \ le 13 $和任意$ k $的简单风扇，除了Pairs $（3,12）$和$（3,13）$。 最后，我们还表明，对于$ k \ ge 3 $和$ n \ ge 2k+6 $，没有选择点可以通过杆和关节刚度在矩曲线沿杆和关节刚度实现$δ_k（n）$，或者更一般地通过辅助因子刚度刚度刚度具有convex位置的任意点。
Let $Δ_k(n)$ denote the simplicial complex of $(k+1)$-crossing-free subsets of edges in $\binom{[n]}{2}$. Here $k,n\in \mathbb N$ and $n\ge 2k+1$. Jonsson (2003) proved that (neglecting the short edges that cannot be part of any $(k+1)$-crossing), $Δ_k(n)$ is a shellable sphere of dimension $k(n-2k-1)-1$, and conjectured it to be polytopal. The same result and question arose in the work of Knutson and Miller (2004) on subword complexes. Despite considerable effort, the only values of $(k,n)$ for which the conjecture is known to hold are $n\le 2k+3$ (Pilaud and Santos, 2012) and $(2,8)$ (Bokowski and Pilaud, 2009). Using ideas from rigidity theory and choosing points along the moment curve we realize $Δ_k(n)$ as a polytope for $(k,n)\in \{(2,9), (2,10) , (3,10)\}$. We also realize it as a simplicial fan for all $n\le 13$ and arbitrary $k$, except the pairs $(3,12)$ and $(3,13)$. Finally, we also show that for $k\ge 3$ and $n\ge 2k+6$ no choice of points can realize $Δ_k(n)$ via bar-and-joint rigidity with points along the moment curve or, more generally, via cofactor rigidity with arbitrary points in convex position.
